# Problem of the Month (July 2011)

This month we consider three problems about placing chess pieces on a chessboard.

1. The problem of placing the largest number of chess pieces of one type on an n×n chessboard so that none of them attacks any other has been well studied. You can fit n queens (for n≥4), n rooks, 2n-2 bishops, n/22 kings, or n2/2 knights (for n≥3).

The problem for placing two types of pieces has only been studied for n=8. What about other square chessboards? What are the collections of two types of pieces that are optimal, in the sense that an additional type of either piece will not fit? For example, the 2×2 optimal solutions are show below.

2. The April 2007 problem investigated the smallest rectangular boards that contained loops of pieces that could attack the next piece in the loop but no other piece. What if each piece requires a minimum of n moves to capture the next piece in the loop? We do not require the pieces to be different, or to not threaten other pieces in the loop. For example, the position below is an example of N → K → R → N, where each capture requires 3 moves.

3. How can the 5 different chess pieces be put on a square chessboard so that each piece attacks the same number of unoccupied squares? Below is one solution. How many others are there?

Maurizio Morandi, Joe Devincentis, Bryce Herdt, Berend van der Zwaag, Jon Palin, and Gavin Theobald sent solutions.

1.

Optimal 2×2 Chessboards
NKBR
Q
 none
 none
 none
 none
R
 none
 none
B
 none
K
 none

Optimal 3×3 Chessboards
NKBR
Q
 none
(MM)
R
(MM)
B
K

Optimal 4×4 Chessboards
NKBR
Q
R
B
K

Optimal 5×5 Chessboards
NKB
Q
R
(MM)
(MM)
B
(MM)
(MM)
K

The 5×5 chessboards with Rook and Queen are trivial, with 5 pieces being possible regardless of the combination.

2.

2 Pieces and 2 Moves to Capture
B → B
K → K
N → N
Q → Q
R → R
B → K
B → N
B → Q
B → R
K → N
K → Q
K → R
N → Q
N → R
(MM)
Q → R

3 Pieces and 2 Moves to Capture
B → B → B
K → K → K
N → N → N
Q → Q → Q
R → R → R
all these by (BZ)
B → B → K
B → B → N
B → B → Q
B → B → R
K → K → B
K → K → N
K → K → Q
K → K → R
N → N → B
N → N → K
N → N → Q
N → N → R
Q → Q → B
Q → Q → K
Q → Q → N
Q → Q → R
R → R → B
R → R → K
R → R → N
R → R → Q
B → K → N
B → K → Q
B → K → R
B → N → K
B → N → Q
B → N → R
B → Q → K
B → Q → N
B → Q → R
B → R → K
B → R → N
B → R → Q
K → N → Q
K → N → R
K → Q → N
K → Q → R
K → R → N
K → R → Q
N → Q → R
N → R → Q

2 Pieces and 3 Moves to Capture
B → B
B → K
K → K
K → N
N → N
Impossible:
B → N
Q → x
R → x

3 Pieces and 3 Moves to Capture
B → B → K
B → B → Q
B → B → R
Impossible:
B → B → B (JD)
B → B → N
N → N → N
Q → Q → x
Q → R → x
R → Q → x
R → R → x
K → K → B
K → K → K
K → K → N
K → K → Q
K → K → R
N → N → B
N → N → K
N → N → Q
N → N → R
(BH)
B → K → N
B → K → Q
B → K → R
B → N → K
B → N → Q
B → N → R
B → Q → K
B → Q → N
B → R → K
B → R → N
K → N → Q
K → N → R
K → Q → N
K → R → N

2 Pieces and 4 Moves to Capture
B → B
B → K
B → N
K → K
K → N
N → N
Impossible:
Q → x
R → x

3 Pieces and 4 Moves to Capture
B → B → K
(BZ)
B → B → N
K → K → B
K → K → K
Impossible:
B → B → B ?
Q → x → x
R → x → x
K → K → N
N → N → B
N → N → K
N → N → N
B → K → N
B → N → K

4 Pieces and 4 Moves to Capture
B → B → B → B
(JD)
B → B → B → K
(BZ)
B → B → B → N
(BZ)
K → K → K → B
K → K → K → K
K → K → K → N
K → K → K → Q
(BZ)
K → K → K → R
(BZ)
N → N → N → B
(BZ)
N → N → N → K
(BZ)
N → N → N → N
B → B → K → K
B → K → B → K
B → B → N → N
(BZ)
B → N → B → N
K → K → N → N
K → N → K → N
B → B → K → N
B → B → N → K
B → K → B → N
(BZ)
K → K → B → N
(BZ)
K → K → N → B
(BZ)
K → B → K → N
(BZ)
N → N → B → K
(BZ)
N → N → K → B
(BZ)
N → B → N → K
B → K → K → Q
B → K → K → R
(JD)
B → Q → K → K
B → R → K → K
(BZ)
K → K → N → Q
K → K → N → R
(JD)
K → K → Q → N
K → K → R → N
(JD)
Impossible:
all other Q ?
all other R ?

2 Pieces and 5 Moves to Capture
B → B
(BZ)
B → K
(BZ)
K → K
(BZ)
N → N
(BZ)
Impossible:
B → N
K → N
Q → x
R → x

3 Pieces and 5 Moves to Capture
B → B → K
(BZ)
B → K → K
(BZ)
B → K → N
(BZ)
B → N → K
(BZ)
B → N → N
(BZ)
K → K → K
(BZ)
K → K → N
(BZ)
K → N → N
(BZ)
Impossible:
B → B → B
B → B → N
N → N → N
Q → x → x
R → x → x

Gavin Theobald was interested in the problem of all 5 pieces, and he sent the solutions below. Berend van der Zwaag improved some of them as noted.

```Order     1 move    2 moves      3 moves
-----     ------    -------      -------
QNRBK      BQN        KNB        .......
RK.        R..        KR.QB.N
Q..        .......

QNRKB      KBN        NKQ        RN.KQ
R.Q        ...        .....    (BZ)
R.B        B....

QNBRK      KRN        N.B        RNK...
BQ.        K.Q        ......   (BZ)
..R        ....BQ

QNBKR      .KN        N.B        N..K..Q
BRQ        ..Q        R.....B  (BZ)
R.K

QNKRB      RBN        NRQ        .......
K.Q        ...        BN.RQ.K
K.B        .......

QNKBR      B.N        N.K        N..B..Q
KRQ        ..Q        R.....K  (BZ)
R.B

QRNBK      .KN        N.Q        ......
BQR        ...        RKN.QB
BRK        ......

QRNKB      B.N        N.Q        .....
KQR        ...        QN..B    (BZ)
KRB        .K..R

QRBNK      QRN        N.B        ......
KB.        R..        B...N.   (BZ)
K.Q        .Q..KR

QRBKN      RBN        NRK        R..K..Q
Q.K        ...        N.....B
Q.B

QRKNB      .QN        NRB        ......
BRK        ..K        RB..KQ
..Q        .N....

QRKBN      RKN        NRB        R..B..Q
QB.        ...        N.....K
Q.K

QBRNK      QBN        BNQ        .N..Q
K.R        K..        BK..R    (BZ)
R..        .....

QBRKN      B.N        NBK        .......
QRK        ...        RQ.KB.N
QR.        .......

QBNRK      KQN        QNK        B.K..Q
RB.        R..        ......   (BZ)
.B.        ....NR

QBNKR      RQN        N.B        ......
KB.        Q..        B..RNQ   (BZ)
K.R        K.....

QBKRN      B.N        KNB        .......
QKR        Q..        KQ.RB.N
R..        .......

QBKNR      QBN        NQK        .N..Q
R.K        ...        BR..K    (BZ)
R.B        .....

QKRBN      KRN        NKB        .......
QB.        ...        BQ.RN.K
QR.        .......

QKRNB      .QN        KN.        .......
BKR        B.Q        QN.KB.R
R..        .......

QKBRN      KBN        BNK        RK.NQ
Q.R        Q..        .....    (BZ)
R..        ....B

QKBNR      QKN        NQB        ......
RB.        ...        QBR.KN
R.K        ......

QKNRB      B.N        QNB        K..R.
RQK        R..        B..NQ    (BZ)
K..        .....

QKNBR      .RN        N.K        ......
BQK        Q..        QB..KR
B.R        .N....

order       4 moves
-----       -------
QRNKB      Q...B.....
N.......KR  (BZ)

QBKNR      B...K.....
R.......NQ  (BZ)
```

Berend van der Zwaag also sent solutions for 2 pieces and 1 move, 3 pieces and 1 move, 4 pieces and 1 move, 4 pieces and 2 moves, 4 pieces and 3 moves, 4 pieces and 5 moves, 2 pieces and 6 moves, 3 pieces and 6 moves, and 4 pieces and 6 moves.

3.

Joe DeVincentis wrote a program to find all the solutions. Here are his results:

4×4 Solutions
```...Q  ...K  ...K  ...K  ...K  ....  ....  ....  ....  ....  ....
..NK  ....  ....  ....  ....  QN.R  B..N  B..K  .BR.  .B.N  .B.R
B...  NB.R  .N..  .B..  ..B.  .B..  R...  ..NQ  QN.K  K...  K...
R...  Q...  QB.R  QN.R  RN.Q  .K..  QK..  ...R  ....  .R.Q  .N.Q

....  ....  ....  ....  ....  ....  ....  ....  ....  ....  ....
.B.Q  .B.R  ..NK  ..BR  ..BR  ..BR  ..BR  ..NQ  ..NQ  ..RN  ..B.
.NRK  ..N.  RB.Q  KN..  .N..  .N..  .N..  ..B.  ..B.  ..B.  KRN.
....  K..Q  ....  Q...  QK..  .QK.  .KQ.  R.K.  K..R  K..Q  Q...

....  ....  ....  ....  ....  ....  ....  ....  ....
..N.  ...K  ....  ....  ....  ....  ....  ....  ....
..R.  N.BQ  BNRK  .N.R  .N.R  .N.K  ..NK  ...K  ...K
K.BQ  ...R  ...Q  QK.B  .KQB  .BRQ  BRQ.  BRNQ  RBNQ
```

5×5 Solutions
```....Q  .....  .....  .....  .....  .....  .....  .....  .....  .....
...NB  B..NR  .B..K  .B..R  ..NB.  ..K..  ..K..  ..K..  ...BQ  ...BQ
.....  .....  QN...  .N...  K....  .Q.R.  .N.R.  .N.R.  ...N.  ....N
K....  .....  .....  ..K..  .....  .BN..  .BQ..  .B...  .....  .....
R....  QK...  R....  .Q...  Q..R.  .....  .....  .Q...  R.K..  RK...

.....  .....  .....  .....  .....  .....  .....  .....  .....  .....
...NR  ...B.  ...B.  ...N.  ...B.  ...B.  ...B.  ...R.  ...R.  ...B.
.....  K..NQ  R..N.  K....  .R.N.  .R.N.  .R.N.  .N.B.  .N.B.  ...NQ
K....  .....  ..K..  R....  Q.K..  ..K.Q  ...K.  .....  .....  K....
Q..B.  ....R  ...Q.  Q..B.  .....  .....  ...Q.  .Q.K.  .K.Q.  ....R

.....  .....  .....  .....  .....  .....  .....  .....  .....  .....
...N.  ...N.  ...N.  ...N.  ...N.  ....R  ....R  ....R  ....K  .....
.....  .....  .....  .....  .....  .BN..  .N.BQ  .....  .....  K...N
K..R.  B..R.  K....  K....  B....  ...KQ  .....  .BNKQ  ..NB.  .B...
Q..B.  Q..K.  Q..BR  Q..RB  Q..KR  .....  ..K..  .....  R.Q..  Q...R

.....  .....  .....  .....  .....  .....  .....  .....  .....
.....  .....  .....  .....  .....  .....  .....  .....  .....
B...K  .N.BQ  .K.R.  .N..K  .R..K  ..B..  ...N.  ....K  .....
...N.  ....R  .BN.Q  .BR..  .BN..  ..NK.  ..KB.  ..NR.  ...B.
R...Q  ..K..  .....  ..Q..  ..Q..  R.Q..  R.Q..  B..Q.  .KNQR
```

6×6 Solutions
```......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
....KQ  ....BQ  ....KQ  ....BQ  ....BQ  ....KQ  ....BQ  ....BQ  ....KQ
....B.  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
.N....  R..N..  R..N..  R..N..  R..N..  .R.N..  .R.N..  .R.N..  ...N..
.R....  ..K...  ...B..  ...K..  ....K.  ...B..  ...K..  ....K.  R..B..
......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......

......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
....BQ  ....B.  ....K.  ....B.  ....K.  ....B.  ....B.  .....B  .....K
......  .KN...  .B.N..  ..N...  ...N..  ......  ......  ......  ......
...N..  ......  ......  .K....  ......  ......  ......  .N....  ......
R..K..  ......  ....RQ  ......  R...B.  .KN...  ..KN..  QK....  BRN...
......  ....RQ  ......  ....RQ  Q.....  RQ....  R.Q...  R.....  Q.....

......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
.KN.R.  .BN.R.  .KN..R  .BN..R  .B..N.  ..BN..  ..BN..  ..K.R.  ..K.R.
......  ......  ......  ......  QK....  ..R...  ..R...  ...N..  ...N..
QB....  QK....  QB....  QK....  ......  ....KQ  ....K.  QB....  .B....
......  ......  ......  ......  R.....  ......  ....Q.  ......  .Q....

......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
..N.R.  ..N.B.  ..N.B.  ..N.B.  ..B..R  ..N..R  ..N..R  ..N..Q  ..N..R
......  ......  ......  ......  ..N...  ...K..  ...K..  .....R  ......
QBK...  QK....  R..KQ.  .K....  ....K.  QB....  .B....  ..BK..  QBK...
......  ....R.  ......  ..QR..  ....Q.  ......  .Q....  ......  ......

......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
...NK.  ...R..  ...R..  ...N..  ...N..  ...B..  ...K..  ...B..  ...N..
......  .K.N..  .B.N..  .B....  .B....  ..K...  ..N...  ..N...  ...B..
R...B.  .Q.B..  .Q.K..  ...KR.  ....K.  R..N..  .R.QB.  ....K.  R...K.
Q.....  ......  ......  ...Q..  ...R.Q  Q.....  ......  ...R.Q  Q.....

......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
...R..  ...B..  ...N..  ...N..  ....BQ  ....R.  ....B.  ....B.  ....R.
...N..  ...N..  ......  ......  ..N...  .KN.BQ  .N..KQ  .N...R  ..N.BQ
.K.B..  .R..K.  R..KBQ  .R.KBQ  ...K..  ......  ......  ....KQ  .K....
.Q....  .Q....  ......  ......  .....R  ......  .....R  ......  ......

......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
....R.  ....B.  ....B.  ....B.  ....R.  ....N.  ....N.  ....N.  ....N.
..N.BQ  ..N..Q  ..N..R  ..N...  ...NB.  ....KQ  ....B.  ....B.  ......
..K...  ....K.  ....K.  ...K..  .K....  B....R  .RK...  ..K...  K...RB
......  .....R  .....Q  .RQ...  .Q....  ......  ..Q...  .RQ...  .....Q

......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
....B.  .....R  .....B  .....K  .....R  .....K  .....B  ......  ......
......  .BN..Q  .N....  .N....  ..N..Q  ......  ......  .BN..R  .B.RN.
.KN...  ....K.  QK....  .R....  ..B.K.  BRN...  .KN...  .Q..K.  QK....
RQ....  ......  R.....  QB....  ......  Q.....  RQ....  ......  ......

......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
.B..N.  .N...B  .N...K  ..RNB.  ..BK..  ..BN..  ..B.N.  ...BKR  ...BK.
QK....  QK....  .R....  .K..Q.  R..N..  .R..K.  R..K..  ..N.Q.  ..N.QR
....R.  R.....  QB....  ......  Q.....  .Q....  Q.....  ......  ......

......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......  ......
....NB  ....N.  ....N.  ....N.  .....K  .....B  ......  ......  ......
K....Q  B...KQ  ....R.  ....R.  BRN...  .KN...  BRN..K  .KN..B  ..KN..
.....R  .....R  .K..BQ  ..K.BQ  Q.....  RQ....  Q.....  RQ....  BRQ...
```

7×7 Solutions
```.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.....RQ  .....RQ  .....RQ  .....K.  .......  .......  .......  .......  .......
.N...K.  .....K.  .....K.  .......  ...N.R.  ...N..R  ...N...  ...N...  ...N...
.......  .N.....  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.......  .......  .N.....  .BN....  ...K...  ...K...  ...K.R.  ...K..R  .....K.
.......  .......  .......  .Q...R.  .B.....  .B.....  .B.....  .B.....  ...B...
......B  ......B  ......B  .......  .Q.....  .Q.....  .Q.....  .Q.....  .R.Q...

.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
....N..  ....N..  ....N..  ....N..  ....N..  ....N..  ....N..  ....N..  ....N..
.K.....  .B.....  ...B...  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.......  .......  .......  .K....R  .B....R  .B.....  .B.....  .B.....  .K.....
.QR..B.  .QR..K.  R...K..  ....B.Q  ....K.Q  .Q.K.R.  .Q.R.K.  .Q.K..R  ...B...
.......  .......  Q......  .......  .......  .......  .......  .......  ...Q.R.

.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
....B..  .....BQ  .....NR  .....B.  .....K.  .....N.  .....N.  .....N.  .....B.
.......  .....K.  .......  .K.....  ...B...  .......  .......  .......  .......
..N....  .......  .......  ..N....  ..N....  .......  .......  .......  .......
R..K...  ..N...R  BK.....  .......  .......  RK.....  .RK....  .K.....  ..NK...
Q......  .......  Q......  QR.....  .....RQ  .Q..B..  .Q....B  RQ..B..  ..Q..R.

.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
..K.N..  ..K.N..  ..N..K.  ...R.K.  ...K...  ...N...  ....NB.  ....NB.  ....B..
....R..  .......  ....B..  ..N....  ....N..  ....K..  .K.R.Q.  .K...Q.  ...K..R
QB.....  QB.....  .......  ..BQ...  ..B....  ..B....  .......  ....R..  ..N...Q
.......  ....R..  .....RQ  .......  .RQ....  .RQ....  .......  .......  .......

.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
....B..  .....NR  .....NR  .....N.  .....K.  .....K.  .....K.  .....K.  .....N.
...N...  .......  .......  .B.....  ...NB..  ....N..  .....NQ  .....NQ  .......
..K.QR.  BK.....  .K.....  ..K....  .......  ..B....  B....R.  B.....R  BK...R.
.......  Q......  QB.....  .Q...R.  .....RQ  .RQ....  .......  .......  Q......

.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.....N.  .....N.  .....N.  .....N.  ......B  .......  .......  .......  .......
.......  .......  .......  .......  .......  .K.N.R.  .N...KB  ..K.N..  ..N...R
.RK....  .K...R.  .K.....  ..K....  .KN....  ...B...  .R....Q  ..B....  ....KBQ
.Q....B  QB.....  QB...R.  ..QRB..  .Q....R  ...Q...  .......  .RQ....  .......

.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
.......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......  .......
...BR..  ...N.K.  ....NK.  ....NB.  ....KR.  ....N..  ....N..  ....N..  ....K..
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8×8 Solutions
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9×9 Solutions
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11×11 Solutions
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```

12×12 Solutions
```............  ............  ............  ............  ............
............  ............  ............  ............  ............
............  ............  ............  ............  ............
............  ............  ............  ............  ............
............  ............  ............  ............  ............
........K...  ........N...  ............  ............  ............
..N.........  ..K.........  .......N....  ............  ............
............  ............  ............  ............  ............
............  ............  ............  ......K.....  ......N.....
............  ............  .....K......  .........N..  .........K..
...B........  ...B........  ...B........  ............  ............
..QR........  ..QR........  ...Q.R......  ......RB.Q..  ......RB.Q..
```

13×13 Solution
```.............
.............
.............
.............
.............
.............
.............
........N....
.............
...K.........
.............
....B........
...QR........
```

Bryce Herdt found a position where each piece attacks a different consecutive number of squares, and wondered how unusual that was.

Jon Palin found these 3 × 3 solutions, and then sent some solutions for larger boards.

```RB.  RB.  RNB  RNB  RNB  R.B  R.B  R.B  RN.  RN.
NK.  NQ.  K..  .K.  Q..  .KN  .KQ  .QK  .K.  .Q.
.Q.  .K.  ..Q  ..Q  ..K  ..Q  N..  N..  .QB  .KB

R..  R..  BRN  BR.  BR.  BR.  BR.  BR.  BR.  .R.
KQN  QKN  Q..  NKQ  NK.  NQK  NQ.  ..N  ..Q  BKQ
..B  ..B  .K.  ...  .Q.  ...  .K.  Q.K  N.K  N..

QR.  .R.  .R.  .R.  .R.  .R.  NR.  .RK  .R.  .RK
B.K  BQK  B..  B.Q  B..  B.Q  .K.  N..  NK.  Q..
N..  N..  NKQ  N.K  KNQ  K.N  B.Q  B.Q  B.Q  B.N
```

If you can extend any of these results, please e-mail me. Click here to go back to Math Magic. Last updated 7/15/11.