# Problem of the Month (March 2018)

Define the nth primorial Pn to be the product of the first n primes.

Problem #1. How can we write Pn as a product of k positive integers as to minimize their sum?

Problem #2. How can we write Pn as a ratio of factorials a1! ··· aj! / b1! ··· bk! as to minimize the sum Σ ai + Σ bi of the numbers used?

Problem #3. What is the largest palindromic factor of Pn?

Joe DeVincentis sent solutions. Mark Mammel confirmed them as optimal.

Problem #1.

The best known solutions are shown below.

n \ k234
2 2·3
3 5·6 2·3·5
4 14·15 5·6·7 2·3·5·7
5 42·55 11·14·15 5·6·7·11
6 165·182 26·33·35 11·13·14·15
7 714·715 77·78·85 17·26·33·35
8 3094·3135 209·210·221 38·51·65·77
9 14858·15015 595·598·627 114·115·119·143
10 79534·81345 1771·1885·1938 255·266·299·319
253·273·290·323 (JD)
11 447051·448630 5642·5865·6061
5681·5797·6090 (JD)
663·665·667·682
12 2714690·2733549 19285·19499·19734 1547·1653·1702·1705
1581·1595·1702·1729 (JD)
13 17395070·17490603 65527·67773·68510
66215·66526·69069 (JD)
4123·4147·4182·4255
14 114371070·114388729 235135·235382·236379 10619·10621·10695·10846
15 783152070·785147363 848003·848470·854601 27417·27962·27965·28681
16 5708587335·5708795638 3185331·3191342·3205865 74777·75361·76038·76055
17 43848093003·43850489690 12427387·12436905·12440362 207389·209346·209627·211265
208034·208131·210197·211265 (JD)
18 342444658094·342503171205 48892415·48964209·48993082 582521·584749·585858·587735
583338·583451·586339·587735 (JD)
19 2803119896185·2803419704514 198654665·198867819·198914534 1671461·1672923·1675895·1676914
20 23619540863730·23622001517543 822802210·823456751·823477809 4855051·4859994·4860505·4864937
21 201813981102615·201817933409378 (JD) 3439818590·3440510367·3441538199 (JD) 14177401·14187435·14228357·14231666 (JD)
22 1793779293633437· 1793779635410490 (JP) 14760901545· 14764086722· 14764495937 (JP) 42312479· 42329845· 42371327· 42398538 (JP)
23 16342050964565645· 16342166369958702 (JP) 64395106531· 64396600554· 64402152085 (JP) 127716061· 127815945· 127886317· 127926806 (JP)
24 154170926013430326· 154171363634898185 (JP) 287510512978· 287515496485· 287535325407 (JP) 392579957· 392599190· 392654027· 392752191 (JP)
25 1518409177581024365· 1518410187442699518 (JP) 1321040331310· 1321053487611· 1321117514527 (JP) 1232056113· 1232133266· 1232345405· 1232415943 (JP)
26 15259825120722837478· 15259831781575946565 (JP) 6152118202714· 6152283617385· 6152311036963 (JP) 3905885951· 3906450065· 3906457914· 3906738277 (JP)
27 154870329715038713659· 154870358790203939190 (JP) 28838629412905· 28839046111953· 28839054633794 (JP) 12442617557· 12445176145· 12445467951· 12445504214 (JP)
28 1601991088154989174258· 1601991507050573600715 (JP) 136910623022555· 136911506585854· 136912534109751 (JP) 40020828198· 40024802239· 40026264145· 40027639663 (JP)
29 16725278985898957454695· 16725281357261594271714 (JP) 654006091489961· 654007088607990· 654007237018157 (JP) 129321763571· 129323808095· 129327682403· 129331765218 (JP)
30 177792163538134124432895· 177792170427340904920562 (JP) 3161847646225658· 3161854114512095· 3161858853009549 (JP) 421634654870· 421656389051· 421659275007· 421666019761 (JP)

n \ k567
5 2·3·5·7·11
6 5·6·7·11·13 2·3·5·7·11·13
7 11·13·14·15·17 5·6·7·11·13·17 2·3·5·7·11·13·17
8 17·19·26·33·35 11·13·14·15·17·19 5·6·7·11·13·17·19
9 23·38·51·65·77 17·19·23·26·33·35 11·13·14·15·17·19·23
10 58·69·95·119·143 23·29·38·51·65·77 17·19·23·26·29·33·35
11 155·161·174·209·221 31·58·69·95·119·143 23·29·31·38·51·65·77
12 341·370·377·391·399 74·93·145·161·209·221 31·37·58·69·95·119·143
13 715·777·779·782·899 205·217·222·299·319·323 41·74·93·145·161·209·221
14 1547·1653·1702·1705·1763
1581·1595·1702·1729·1763 (JD)
437·465·473·493·518·533 86·123·185·217·299·319·323
15 3478·3553·3565·3731·3741 893·899·903·935·943·962 235·258·287·403·407·437·493
16 7473·7843·8170·8177·8323 1739·1763·1767·1771·1802·1885 583·589·602·611·615·629·667
17 17759·17917·18073·18241·18330 3127·3478·3553·3565·3731·3741 1003·1045·1081·1113·1118·1147·1189 (JP)
18 40579·40687·41287·41366·41595 6601·6837·6919·7163·7198·7285 1769·1829·2014·2021·2035·2091·2093 (JP)
19 93869·94658·95381·96145·96441 (JD) 13601·13674·13981·14335·14467·14573 (JP) 3478·3551·3553·3565·3599·3731·3741 (JP)
20 222547·223138·223445·224147·224331 (JD) 28249·28294·28365·28897·29087·29279 (JP) 4757·6601·6837·6919·7163·7198·7285 (JP)
21 524117· 526870· 527137· 528027· 529907 (JP) 57523· 58007· 58327· 58830· 59059· 60233 (JP) 10366· 12261· 12341· 12455· 12617· 12673· 13039 (JP)
22 1255990· 1260181· 1266449· 1266769· 1267167 (JP) 120734· 120745· 121107· 121481· 121693· 123281 (JP) 22265· 22578· 22607· 22673· 22847· 23069· 23693 (JP)
23 3051381· 3056053· 3056510· 3059297· 3062749 (JP) 252343· 253394· 253399· 254301· 254405· 254771 (JP) 42107· 42143· 42911· 43070· 43239· 43301· 43493 (JP)
24 7489873· 7495631· 7497805· 7508002· 7520817 (JP) 533281· 535866· 536015· 536129· 536731· 539251 (JP) 80934· 81055· 81257· 81437· 81673· 81833· 81923 (JP)
25 18706015· 18709243· 18740819· 18741701· 18756114 (JP) 1144891· 1147715· 1148581· 1149969· 1152346· 1152787 (JP) 154919· 155701· 156655· 156907· 156953· 156981· 157826 (JP)
26 47097337· 47116949· 47137515· 47162758· 47201947 (JP) 2469955· 2475149· 2477261· 2479711· 2488838· 2491377 (JP) 301701· 301903· 302105· 302731· 302867· 303707· 303902 (JP)
27 119048682· 119102533· 119112805· 119165147· 119174471 (JP) 5363547· 5364973· 5369045· 5370829· 5375422· 5377321 (JP) 583573· 585466· 586339· 586993· 587735· 588729· 589469 (JP)
28 303209555· 303225937· 303295031· 303346742· 303393621 (JP) 11689139· 11693443· 11693487· 11701355· 11703826· 11724311 (JP) 1139467· 1140005· 1144891· 1145443· 1145542· 1146251· 1147317 (JP)
29 774767161· 774992291· 775159495· 775200578· 775305843 (JP) 25557485· 25559933· 25571431· 25574494· 25586333· 25591683 (JP) 2230709· 2233579· 2235937· 2236645· 2236926· 2238751· 2241757 (JP)
30 1994810095· 1994903339· 1995040999· 1995110259· 1995644158 (JP) 56197006· 56203997· 56225113· 56232605· 56244959· 56278527 (JP) 4386238· 4387795· 4389569· 4391783· 4396717· 4397379· 4406579 (JP)

Problem #2.

The best known solutions are shown below.

nRatioAuthor
12!
23!
35! / 2! 2!
47! / 4!
511! / 6! 4!
613! / 6! 4! 3! 2!
717! / 8! 6! 4!
819! / 9! 6! 4! 2!
923! / 12! 8! 3!Joe DeVincentis
1029! / 14! 10! 6! 3!
29! / 15! 9! 5! 4!
Joe DeVincentis
1131! / 15! 9! 6! 5!Joe DeVincentis
1237! / 18! 11! 10! 2!Joe DeVincentis
1341! / 20! 13! 10! 2!Jon Palin
1443! / 21! 16! 6! 3!Jon Palin
1547! / 27! 12! 8! 2!Jon Palin
1653! / 28! 17! 7! 5! 2!Jon Palin
1759! / 29! 22! 10! 2!Jon Palin
1861! / 29! 22! 10! 5!Jon Palin
1967! / 31! 22! 16! 4!Jon Palin
2071! / 35! 28! 8! 3! 2!Jon Palin
2173! / 36! 28! 8! 4!Jon Palin
2279! / 39! 25! 14! 7! 2!Jon Palin
2383! / 42! 28! 12! 6!Jon Palin
2489! 13! / 44! 30! 18! 12! 2!Woohyun Rim

Problem #3. The best known solutions are shown below.

nPalindromic FactorFactorizationAuthor
122
2–362 · 3
477
5777 · 11
6–760062 · 3 · 7 · 11 · 13
8–109699693 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19
11363993633 · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 · 31
12–1413467764313 · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 · 31 · 37
15–1753306603355 · 7 · 11 · 13 · 17 · 31 · 43 · 47Joe DeVincentis
18–2150418131814055 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 29 · 41 · 43 · 61
22–28748335995338473 · 7 · 11 · 29 · 31 · 37 · 43 · 47 · 61 · 79Joe DeVincentis
295020731677613702055 · 7 · 11 · 13 · 23 · 31 · 41 · 53 · 73 · 79 · 103 · 109Jon Palin
30–3455211595177771595112553 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 29 · 31 · 41 · 71 · 79 · 89 · 101 · 103 · 113Woohyun Rim

If you can extend any of these results, please e-mail me. Click here to go back to Math Magic. Last updated 3/1/18.