Problem of the Month (May 2019)

In October 2016, we asked for the smallest configurations of i-ominoes and j-ominoes on the grid so that every i-omino touches polyominoes with total area a, and each j-omino touches polyominoes with total area b. This month we ask the same for 3 different areas. What are the smallest configurations of 1-, 2-, and 3-ominoes touching total areas a, b, and c respectively?


ANSWERS

Solutions were received from Maurizio Morandi, Joe DeVincentis, George Sicherman, and Alexey Nigin.

a=2
b \ c24567891011121314151617
4 ? ? ? ? ?
5
(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ?
6
(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ?
7
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
8
(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)
? ?
9
(GS)

(MM)
? ? ? ? ? ?
10
(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ?
11
(JD)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ? ? ?
12
(JD)

(JD)

(MM)
? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ? ? ?
13
(JD)

(JD)
?
(JD)

(MM)
? ? ? ? ? ? ? ? ?
14
(JD)

(JD)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15
(JD)

(JD)

(JD)

(JD)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
16
(JD)

(JD)

(JD)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

a=3
b \ c234567891011121314151617
3
(MM)

(MM)
? ? ? ? ?
4
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)
? ? ? ? ?
5
(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
? ? ? ?
6
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)
? ? ? ?
7
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
8
(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(GS)
?
(MM)
?
9
(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
?
(MM)
? ? ? ?
10
(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ?
11
(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)
? ? ? ? ? ?
12 ?
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ?
13 ? ?
(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)
? ? ? ? ? ?
14 ? ?
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ? ?
15
(AN)

(AN)
?
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)
? ? ? ? ? ? ?
16
(AN)

(AN)
?
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ? ?
17
(AN)

(AN)

(AN)
? ?
(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ? ? ?
18
(AN)

(AN)

(AN)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ? ? ?

a=4
b \ c12345678910111213141516
1
(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)
? ? ? ? ?
2
(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)
? ? ? ? ?
3
(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)
? ? ? ?
4
(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ?
5
(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
? ? ?
6
(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
?
7
(GS)

(GS)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ?
8
(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
9 ?
(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)
?
(GS)
?
(MM)
10 ?
(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
?
(MM)
? ?
11 ?
(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ?
12 ? ?
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
? ? ?
13
(AN)
? ?
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)
? ? ? ? ?
14
(AN)
? ?
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ?
15
(AN)

(AN)

(AN)
?
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ?
16
(AN)

(AN)

(AN)
?
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ?
17
(AN)

(AN)

(AN)

(AN)
? ?
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ?
18
(AN)

(AN)

(AN)

(AN)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ?

a=5
b \ c123456789101112131415
1
(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ?
2
(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)
? ? ? ? ?
3
(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)
? ? ?
4
(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
? ?
(MM)
5
(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)
? ?
6
(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)
7
(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
8 ?
(GS)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
?
9 ?
(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(GS)
? ?
(GS)
?
10 ?
(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ?
11 ?
(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)
? ? ? ? ? ?
12 ? ? ? ?
(GS)

(GS)
?
(GS)

(GS)
? ? ? ? ? ?
13
(AN)
? ? ?
(MM)
? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?
14
(AN)
? ? ?
(MM)
? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?
15
(AN)

(AN)

(AN)
?
(MM)
? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?
16
(AN)

(AN)

(AN)
? ? ? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?
17
(AN)

(AN)

(AN)
? ? ? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?
18
(AN)

(AN)

(AN)
?
(MM)
? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?

a=6
b \ c123456789101112131415
1
(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ?
2
(GS)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ?
3
(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)
? ?
4
(MM)

(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)
?
(MM)
5
(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)
? ?
6
(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)
? ?
7 ?
(MM)

(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
8 ?
(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(GS)

(GS)
? ? ? ?
9 ?
(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)
? ? ? ?
10 ?
(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(GS)

(GS)
? ? ? ?
11 ?
(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ?
12 ? ?
(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ?
13
(AN)
? ?
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ?
14
(AN)
? ?
(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ?
15
(AN)

(AN)

(AN)
?
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ?
16
(AN)

(AN)

(AN)
? ? ? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?
17
(AN)

(AN)

(AN)

(AN)
? ? ?
(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ?
18
(AN)

(AN)

(AN)

(AN)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ?

a=7
b \ c123456789101112131415
1
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(GS)
? ? ? ? ? ?
2
(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)
? ? ? ? ? ?
3
(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ?
4
(GS)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)
?
(GS)
? ?
5
(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)
? ?
6
(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(GS)
?
7 ?
(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
8 ?
(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
? ?
(GS)
? ? ?
9 ? ?
(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)
? ? ? ? ? ?
10 ? ? ?
(MM)

(MM)
?
(GS)

(MM)
? ? ? ? ? ? ?
11 ? ? ?
(MM)

(MM)
?
(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ? ?
12 ? ? ? ?
(GS)

(GS)
?
(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ?
13
(AN)
? ? ?
(GS)
? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?
14
(AN)
? ? ? ? ? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?
15
(AN)

(AN)

(AN)
?
(MM)
? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?
16
(AN)

(AN)

(AN)
? ? ? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?
17
(AN)

(AN)

(AN)
? ? ? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?
18
(AN)

(AN)

(AN)
?
(MM)
? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?

a=8
b \ c12345678910111213141516
1
(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)
? ? ? ? ? ?
2
(GS)

(GS)
?
(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)
? ? ? ? ? ? ? ?
3
(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)
? ? ?
4
(MM)

(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)
? ? ? ? ?
5
(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ?
6
(GS)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
?
(GS)
? ?
7 ?
(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
8 ?
(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ? ?
9 ?
(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ? ?
10 ?
(MM)
?
(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)
? ? ? ? ? ? ?
11 ?
(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ? ?
12 ? ?
(GS)

(GS)

(GS)

(GS)
?
(MM)

(GS)
? ? ? ? ? ? ?
13
(AN)
? ? ? ?
(GS)
?
(GS)

(MM)
? ? ? ? ? ? ?
14
(AN)
?
(GS)
?
(MM)

(MM)
?
(GS)

(MM)
? ? ? ? ? ? ?
15
(AN)

(AN)

(AN)
?
(MM)
? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ? ?
16
(AN)

(AN)

(AN)
? ? ? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ? ?
17
(AN)

(AN)

(AN)
? ? ? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ? ?
18
(AN)

(AN)

(AN)
?
(MM)
? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ? ?

a=9
b \ c123456789101112131415
1
(MM)

(MM)

(MM)

(GS)
?
(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ? ?
2
(GS)
?
(MM)

(MM)
?
(MM)
? ? ? ? ? ? ? ?
3
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ? ?
4
(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ?
5
(GS)

(MM)

(GS)

(GS)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
? ? ?
6 ?
(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)
? ? ?
7 ?
(MM)

(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)
?
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
8 ? ?
(MM)

(GS)

(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ? ?
9 ? ?
(GS)

(MM)
?
(MM)

(GS)
?
(MM)
? ? ? ? ? ?
10 ?
(MM)
?
(GS)

(MM)
?
(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ? ?
11 ? ? ?
(MM)

(MM)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12 ? ? ? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13
(AN)
? ? ? ? ? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?
14
(AN)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15
(AN)

(AN)

(AN)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
16
(AN)

(AN)

(AN)
? ? ? ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ?

a=10
b \ c12345678910111213
1
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
?
(MM)

(GS)
? ? ? ? ?
2
(MM)
?
(GS)
? ? ? ? ? ? ? ? ?
3
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(GS)

(GS)
? ?
4
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)
?
(MM)

(MM)
?
5
(GS)

(GS)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)
? ?
6 ?
(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)

(MM)

(GS)
7 ?
(MM)

(GS)

(MM)

(MM)

(MM)
?
(MM)
? ?
(MM)
?
(MM)
8 ? ?
(GS)
?
(GS)

(GS)
? ?
(MM)
? ? ? ?
9 ? ? ?
(GS)

(MM)
?
(GS)

(MM)
? ? ? ? ?
10 ? ?
(MM)
?
(MM)

(MM)
?
(GS)

(MM)
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