Problem of the Month (October 2016)

For what values of m and n are there configurations of i-ominoes and j-ominoes on the grid so that every i-omino touches polyominoes with total area m, and each j-omino touches polyominoes with total area n? What are the smallest such configurations?


ANSWERS

Solutions were received from Joe DeVincentis, George Sicherman, and Maurizio Morandi.

Areas 1 and 2
m \ n12345678
2
(MM)
3
(GS)
4
(GS)
?
5
(GS)

(MM)
? ?
6
(MM)

(MM)
? ?
7 ?
(MM)
? ?
8


Areas 1 and 3
m \ n1234567
3
4
5
(GS)
6
(GS)
7
(GS)

(GS)
8 ? ?
9 ? ?
10
(MM)

(GS)
12

m \ n8910111213
3
4
(MM)

(MM)

(JD)
5 ?
(MM)
? ? ?
6
(MM)

(MM)
?
7
(GS)

(MM)
? ? ? ?
8 ? ? ? ? ?
9 ? ? ? ?
10 ? ? ? ? ? ?
12 ?


Areas 2 and 3
m \ n245678910
3
5
(MM)
6
7
8
(MM)
9
(MM)

(MM)
10
(GS)

(GS)

(GS)

(GS)
11
(GS)

(GS)

(MM)

(MM)
12 ?
(GS)
13 ? ? ? ? ?
(MM)
14 ? ? ? ? ?
15
(MM)
? ? ? ?
16 ? ? ?
17 ?
18
(MM)
?

m \ n11121314151617
3 ? ?
(MM)
? ?
5
(MM)
? ? ?
6
(GS)

(MM)
? ? ?
7
8
(MM)

(MM)
? ? ? ?
9
(GS)

(MM)
? ? ? ? ?
10 ? ? ? ? ? ? ?
11 ? ? ? ? ? ? ?
12 ? ? ? ? ? ? ?
13 ? ? ? ? ? ? ?
14 ? ? ? ? ? ? ?
15 ? ? ? ? ? ? ?
16 ? ? ? ? ? ? ?
17 ? ? ? ? ? ? ?
18 ? ? ? ? ? ? ?


Areas 1 and 4
m \ n12345678910
4
(GS)
5
(MM)

(MM)
6
(MM)

(GS)
8
(GS)

(MM)

(MM)
9
(MM)
10 ?
(MM)
12 ? ?
(GS)
? ?
13
(MM)

(MM)
? ?
(MM)
16

m \ n1112131415161718
4 ? ?
5
(MM)

(GS)

(MM)
6 ?
(MM)
? ? ?
(MM)
? ?
8
(GS)
?
(MM)

(MM)
9 ?
(MM)

(GS)
? ? ? ? ?
10 ? ? ?
(GS)
? ? ? ?
12 ? ? ? ? ? ? ?
13 ? ? ? ? ? ? ? ?
16 ? ?


Areas 2 and 4
m \ n24681012
4
6
8
10
12
14
(GS)

(MM)

(MM)
16
(MM)

(MM)
18 ? ?
20 ? ?
22 ?
24 ?

m \ n1416182022
4
(MM)

(MM)
?
6 ?
8
10
(MM)

(GS)
? ? ?
12
(MM)
? ? ?
14 ? ? ? ? ?
16 ? ? ? ?
18 ? ? ? ? ?
20
(MM)
? ? ? ?
22 ? ? ? ? ?
24 ? ? ? ? ?


Areas 3 and 4
m \ n367910
4
7
8
(MM)
10
11
12
13
(MM)

(MM)
14
15
(GS)

(MM)
16
(GS)
?
17 ? ? ?
18 ?
(MM)
?
19
(GS)
?
(GS)
20 ?
(MM)
? ?
21 ? ? ? ?
22 ? ? ? ?
23 ? ? ?
24 ? ? ?
25 ? ? ? ?
26 ? ? ? ?
27 ? ? ? ?
28 ?
(MM)
? ?
29 ? ? ? ?
30 ?
31
32

m \ n1112131415
4
7
8
10
11
12 ?
(GS)

(GS)
13 ? ? ?
14 ?
15 ? ?
16 ? ?
17
(MM)
? ?
(MM)
?
18 ? ?
(MM)
?
19 ? ? ? ?
20 ? ?
(MM)

(MM)
21 ? ? ? ? ?
22 ? ? ?
23 ? ? ? ?
24 ? ? ?
(MM)
25 ? ? ? ? ?
26 ? ? ? ? ?
27 ? ? ? ?
28 ? ? ? ?
29 ? ? ? ? ?
30 ? ? ? ? ?
31 ?
32 ?

m \ n1617181920
4
(MM)
7
8
(GS)
10
11
(GS)

(MM)
?
12 ?
(MM)
? ? ?
13 ? ? ? ? ?
14 ?
(MM)
? ?
(MM)
15 ? ? ? ? ?
16 ? ? ? ? ?
17 ? ? ? ? ?
18 ? ? ? ? ?
19 ? ? ? ? ?
20 ? ? ? ? ?
21 ? ? ? ? ?
22 ? ? ? ? ?
23 ? ? ? ? ?
24 ? ? ? ? ?
25 ? ? ? ? ?
26 ? ? ? ? ?
27 ? ? ? ? ?
28 ? ? ? ? ?
29 ? ? ? ? ?
30 ? ? ? ? ?
31 ?
32 ?

m \ n2122232425262728293031
4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
7
(GS)

(GS)
?
(GS)
? ? ? ? ? ? ?
8 ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ? ? ?
10
(MM)
?
11 ?
(MM)
? ? ? ? ? ? ? ? ?
12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
16 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
17 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
18 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
19 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
20 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
21 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
23 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
24 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
25 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
26 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
27 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
28 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
29 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
30 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
31 ? ? ?
32 ? ? ?


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